Информация о задаче

Задача 102243

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны ромба EFGH являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников EAF, FDG, GCH, HBE, причём все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырёхугольника ABCD и ромба EFGH равна 12. Найдите GH.

Подсказка

Используя симметрии полученной фигуры относительно диагоналей ромба, докажите, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник.

Решение

Стороны ромба, а значит, и опирающиеся на них треугольники симметричны относительно каждой диагонали ромба. Поэтому четырёхугольник ABCD — прямоугольник. Если сторона ромба равна a, а его острый угол равен $\alpha$ , то

$\displaystyle \angle$ DFA = 45^o + 45^o - $\displaystyle \alpha$ = 90^o - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DCG = (180^o - $\displaystyle \alpha$ ) - 45^o - 45^o = 90^o - $\displaystyle \alpha$ .

Найдём стороны прямоугольника ABCD:

AD² = AF² + FD² - 2AF^.FD^.cos $\displaystyle \angle$ DFA = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right)^{2}_{}$ - 2^. $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ ^.cos(90^o - $\displaystyle \alpha$ ) =

= a²(1 - sin $\displaystyle \alpha$ ),

CD² = DG² + GC² - 2DG^.GC^.cos $\displaystyle \angle$ DGC = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{\sqrt{2}}}\right)^{2}_{}$ - 2^. $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ ^.cos(90^o - $\displaystyle \alpha$ ) =

= a²(1 - sin $\displaystyle \alpha$ ).

Поэтому

12 = S_ABCD + S_EFGH = AD^.CD + a²sin $\displaystyle \alpha$ = a²(1 - sin $\displaystyle \alpha$ ) + a²sin $\displaystyle \alpha$ = a².

Следовательно, a = $\sqrt{12}$ = 2 $\sqrt{3}$ .

Ответ

2 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3670