Задача 102261

Темы:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны и CD = 2AB. На сторонах AD и BC выбраны точки P и Q соответственно так, что DP : PA = 2, BQ : QC = 3 : 4. Найдите отношение площадей четырёхугольников ABQP и CDPQ.

Подсказка

Продолжите до пересечения боковые стороны трапеции.

Решение

Пусть продолжения боковых сторон AD и BC трапеции пересекаются в точке K. Из условия задачи следует, что AB — средняя линия треугольника KDC. Обозначим AB = z, BQ = 3t, S_AKB = s. Тогда

DP = 2z, AK = AD = 3z, CQ = 4t, BK = BC = 7z, 

S_KDC = 4s, S_KPQ = ^{. .} S_KDC = ^{. .} 4s = s,

S_ABQP = S_KPQ - S_AKB = s - s = s,

S_CDPQ = S_ABCD - S_ABQP = 3s - = s.

Следовательно,

= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3688