Информация о задаче

Задача 102270

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол $\angle$ ACB = 75^o, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр треугольника ABC равен 4 + $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ .

Подсказка

Составьте систему трёх уравнений относительно сторон треугольника. При её решении используйте равенство $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ = 4 cos 75^o.

Решение

Пусть СD— высота треугольника. Обозначим AB = c, BC = a, AC = b. Тогда S_ABC = ${\frac{1}{2}}$ AB^.CD = ${\frac{1}{2}}$ c. С другой стороны, S_ABC = ${\frac{1}{2}}$ BC^.AC^.sin $\angle$ ACB = ${\frac{1}{2}}$ ab sin 75^o, поэтому c = ab sin 75^o. По теореме косинусов

AB² = BC² + AC² - 2BC^.AC^.cos $\displaystyle \angle$ ACB,

или с² = a² + b² - 2ab cos 75^o. Наконец, по условию задачи a + b + c = 4 + $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ . Таким образом, имеем систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} c = ab \sin 75^{\circ}\\ ... ...2ab \cos 75^{\circ}\\ a+b+c = 4+\sqrt{6}-\sqrt{2},\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} c = ab \sin 75^{\circ}\\ с^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab \cos 75^{\circ}\\ a+b+c = 4+\sqrt{6}-\sqrt{2},\\ \end{array}$

Заметив, что $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ = 4 cos 75^o, перепишем систему в виде

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} ab = \frac{c}{ \sin 75^{\c... ...(1+ \cos 75^{\circ})\\ a+b = 4+4\cos 75^{\circ}-с.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} ab = \frac{c}{ \sin 75^{\circ}}\\ с^{2} =... ...)^{2}-2ab(1+ \cos 75^{\circ})\\ a+b = 4+4\cos 75^{\circ}-с.\\ \end{array}$

Подставив ab из первого уравнения и a + b — из третьего во второе, получим уравнение относительно c:

c² = (4(1 + cos 75^o) - c)² - $\displaystyle {\frac{2c(1+\cos 75^{\circ})}{\sin 75^{\circ}}}$ ,

откуда находим, что

c = $\displaystyle {\frac{8(1+\cos 75^{\circ})\sin 75^{\circ}}{4\sin 75^{\circ} + 1}}$ = $\displaystyle {\frac{8\sin 75^{\circ}+4\sin 150^{\circ}}{4\sin 75^{\circ}+1}}$ = $\displaystyle {\frac{8\sin 75^{\circ}+2}{4\sin 75^{\circ}+1}}$ = 2.

Пусть R — искомый радиус описанной окружности данного треугольника. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{AB}{2\sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{2\sin 75^{\circ}}}$ = 2^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{6}$ - $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

$\sqrt{6}-\sqrt{2}.$ --> $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3697