Информация о задаче

Задача 102308

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD ( AB $\Vert$ CD) диагонали AC = c, BD = ${\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ c. Найдите площадь параллелограмма, если $\angle$ CAB = 60^o.

Подсказка

Примените теорему синусов к треугольнику COD (O — точка пересечения диагоналей параллелограмма) и воспользуйтесь формулой

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.BD^.sin $\displaystyle \angle$ COD.

Решение

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Обозначим $\angle$ COD = $\alpha$ . Рассмотрим треугольник COD. В нём

$\displaystyle \angle$ OCD = $\displaystyle \angle$ CAB = 60^o, $\displaystyle \angle$ COD = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ ODC = 120^o - $\displaystyle \alpha$ ,

OC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC = $\displaystyle {\frac{c}{2}}$ , OD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$ c.

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{OD}{\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{OC}{\sin ( 120^{\circ}-\alpha)}}$ , или $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{c}{2}}{\sin (120^{\circ}-\alpha)}}$ ,

откуда находим, что sin(120^o - $\alpha$ ) = ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . Ясно, что 120^o - $\alpha$ $\ne$ 135^o, значит, 120^o - $\alpha$ = 45^o. Тогда $\alpha$ = 120^o - 45^o = 75^o. Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.BD^.sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.c^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ c^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{c^{2}}{8}}$ (3 + $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Ответ

S = ${\frac{c^{2}}{8}}$ (3 + $\sqrt{3}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3735