Информация о задаче

Задача 102333

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности радиусов 3 и 6 с центрами соответственно в точках и O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке A. К окружностям проведены общая внешняя касательная и общая внутренняя касательная. Эти касательные пересекаются в точке B, а L — общая точка внешней касательной и окружности радиуса 6. Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABLO₂.

Подсказка

Докажите, что BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, проведённая из вершины прямого угла B.

Решение

Пусть K — точка касания общей внешней касательной с окружностью радиуса 3. Поскольку BO₁ и BO₂ — биссектрисы углов ABK и ABL, то $\angle$ O₁BO₂, значит, BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

BA = $\displaystyle \sqrt{AO_{1}\cdot AO_{2}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Тогда BL = BA = 3 $\sqrt{2}$ как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Поскольку BL + AO₂ = BA + LO₂, то в четырёхугольник ABLO₂ можно вписать окружность. Центр O этой окружности лежит диагонали BO₂, т.к. BO₂ — биссектриса углов при вершинах B и O₂ этого четырёхугольника. Пусть P и Q — точки касания искомой окружности с отрезками BA и AO₂ соответственно, а r — искомый радиус. Тогда

S_ABO₂ = S_AOO₂ + S_AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AO₂^.OQ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.OP =

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.6^.r + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ^.r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.r(6 + 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

С другой стороны,

S_ABO₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AO₂^.AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.6^.3 $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.18 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Из уравнения ${\frac{1}{2}}$ ^.r(6 + 3 $\sqrt{2}$ ) = ${\frac{1}{2}}$ ^.18 $\sqrt{2}$ находим, что

r = $\displaystyle {\frac{6}{1+\sqrt{2}}}$ = 6( $\displaystyle \sqrt{2}$ - 1).

Ответ

6( $\sqrt{2}$ - 1).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3761