Задача 102341

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В правильный треугольник ABC со стороной a вписана окружность. Эта окружность касается внешним образом трёх других окружностей того же радиуса в точках касания сторон треугольника. Центры внешних окружностей — соответственно O₁, O₂, O₃. Найдите площадь шестиугольника, получающегося при пересечении треугольников ABC и O₁, O₂, O₃.

Подсказка

Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, вписана также и в треугольник O₁O₂O₃

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, r — её радиус. Тогда радиусы остальных окружностей также равны r. Опустим перпендикуляр OH на O₁O₂. Из прямоугольного треугольника OHO₁ находим, что

OH = ^. OO₁ = ^. 2r = r.

Это значит, что прямая O₁O₂ касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Аналогично для O₁O₃ и O₂O₃. Таким образом, окружность с центром O вписана также и в треугольник O₁O₂O₃. При этом стороны этих треугольников соответственно параллельны. При повороте на 60^o относительно точки O шестиугольник, упомянутый в условии задачи, переходит сам в себя, поэтому он — правильный. Пусть его сторона равна b, а площадь S. Тогда

b = , S = 6 ^. br = = 2r².

Заметим, что r = . Следовательно, S = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3769