Информация о задаче

Задача 102345

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике KLM проведён отрезок MD, соединяющий вершину прямого угла с точкой D на гипотенузе KL так, что длины отрезков DL, DM и DK различны и образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем $\sqrt{2}$ , причём DL = 1. Найдите величину угла KMD.

Подсказка

Обозначьте $\angle$ MKL и найдите cos $\alpha$ , применив теорему косинусов к треугольнику MDK. Затем примените теорему синусов к треугольнику MKD.

Решение

Поскольку длины отрезков DL, DM и DK образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\sqrt{2}$ , то

DM = DL^. $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ , DK = DM^. $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2.

Обозначим $\angle$ MKL = $\alpha$ . Тогда KM = KL cos $\alpha$ = 3 cos $\alpha$ . По теореме косинусов

MD² = KM² + KD² - 2^.KM^.KD^.cos $\displaystyle \alpha$ , или 2 = 9 cos² $\displaystyle \alpha$ + 4 - 2^.6 cos² $\displaystyle \alpha$ ,

откуда находим, что cos $\alpha$ = $\sqrt{\frac{2}{3}}$ . Тогда sin $\alpha$ = ${\frac{1}{\sqrt{3}}}$ . Применяя теорему синусов к треугольнику MKD, находим, что

sin $\displaystyle \angle$ KMD = KD^. $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{MD}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sin \alpha}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

Поскольку угол KMD — острый, то

cos $\displaystyle \angle$ KMD = $\displaystyle \sqrt{1-\frac{2}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Ответ

arccos ${\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3773