Задача 102353

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В ромбе ABCD высоты BP и BQ пересекают диагональ AC в точках M и N (точка M лежит между A и N),  AM = p,  MN = q.  Найдите PQ.

Подсказка

Треугольники AMP и CMB подобны, как и треугольники BMN и BPQ.

Решение

  Ромб симметричен относительно диагонали BD. Отсюда следует, что  PQ || AC  и  CN = AM.  Треугольники AMP и CMB подобны по двум углам, поэтому   ^BM/_MP = ^CM/_AM = ^p+q/_p.
  Треугольники BMN и BPQ также подобны, поэтому   ^PQ/_MN = ^BP/_BM = ^AC/_MC = ^2p+q/_p+q.
  Следовательно, PQ = ^2p+q/_p+q·q.

Ответ

^q(2p+q)/_p+q.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3781