Информация о задаче

Задача 102377

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD касается прямой AD и пересекает прямую AB в точках B и E. Найдите длину отрезка AE, если AD = 4 и CE = 5.

Подсказка

Диагонали равнобедренной трапеции BCDE равны. Треугольник BDC — равнобедренный. Далее примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть точка E лежит между точками A и B (рис.1). Трапеция BCDE вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Значит, BD = CE = 5. Хорда BC параллельна касательной AD, поэтому треугольник BDC равнобедренный (прямая, проходящая через точку D перпендикулярно касательной AD, проходит через центр окружности, перпендикулярна хорде BC и делит её пополам). Следовательно, AB = CD = CE = 5, и по теореме о касательной и секущей AD² = AB^.AE, откуда AE = ${\frac{AD^{2}}{AB}}$ = ${\frac{16}{5}}$ . Если точка не лежит между точками A и B (рис.2), то задача не имеет решений (в этом случае, рассуждая аналогично первому случаю, получим, что AE = ${\frac{16}{5}}$ < 5, что невозможно).

Ответ

${\frac{16}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3611