Задача 102387

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N – точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN – в точке P,  AB : BC = 2 : 3.  Найдите  AP : PC.

Подсказка

Пусть O – центр окружности, прямая AO пересекает хорду MN в точке K, H – проекция точки O на хорду BC. Тогда  AB·AC = AM² = AO·AK = AH·AP.

Решение

  Пусть O – центр окружности, а прямая AO пересекает хорду MN в точке K. Тогда  AK ⊥ MN.  Из прямоугольного треугольника AOM находим, что
AM² = AO·AK.
  Пусть H – проекция точки O на хорду BC. Тогда H – середина BC. Прямоугольные треугольники AKP и AHO подобны по двум углам, поэтому
AK : AP = AH : AO,  откуда  AO·AK = AH·AP.

  По теореме о касательной и секущей  AM² = AB·AC.
  Из полученных равенств следует, что  AB·AC = AO·AK = AH·AP.
  Обозначим  AB = 2x,  BC = 3x.  Тогда  AC = AB + BC = 5x,  AH = ½ (AB + AC) = ^7x/₂,  AP = AB·^AC/_AH = ^20x/₇.
  Значит,  PC = AC – AP = 5x – ^20x/₇ = ^15x/₇,  AP : AC = 4 : 3.

Ответ

4 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3807