Информация о задаче

Задача 102397

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены медианы AN и CM, $\angle$ ABC = 120^o. Окружность, проходящая через точки A, M и N, проходит также через точку C. Радиус этой окружности равен 7. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что данный треугольник — равнобедренный, найдите AN, а для нахождения сторон данного треугольника примените теорему косинусов к треугольнику ABN.

Решение

По теореме о средней линии треугольника MN $\Vert$ AC, поэтому AMNC — трапеция, а т.к. трапеция вписана в окружность, то она — равнобедренная. Поскольку AB = 2^.AM = 2^.CN = BC, то треугольник ABC — также равнобедренный, поэтому $\angle$ BAC = $\angle$ BCA = 30^o.

Если R — радиус окружности, то

AN = 2R^.sin $\displaystyle \angle$ ACN = 2R^.sin 30^o = R = 7.

Обозначим CN = AM = x. Тогда AB = BC = 2x. По теореме косинусов в треугольнике ABN имеем:

AN² = AB² + BN² - 2^.AB^.BN^.cos 120^o, или 49 = 4x² + x² + 2x².

Отсюда находим, что x² = 7. Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.BC^.sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2x^.2x^.sin 120^o = 2x^{2 .} $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = x² $\displaystyle \sqrt{3}$ = 7 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

7 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3817