Информация о задаче

Задача 102405

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции KLMN известно, что LM $\Vert$ KN, $\angle$ KLM = ${\frac{\pi}{2}}$ , LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь треугольника AMN.

Подсказка

Пусть прямые NM и KL пересекаются в точке P, а AB — высота треугольника AMN. Выразив sin $\angle$ KPN из прямоугольных треугольников PLM, найдите AB.

Решение

Пусть прямые NM и KL пересекаются в точке P, а AB — высота треугольника AMN. Обозначим $\angle$ KPN = $\alpha$ . Из прямоугольных треугольников PLM, PBA и PKN находим, что

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{LM}{PM}}$ , sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AP}}$ , sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{KN}{PN}}$ .

Перемножив почленно равенства

$\displaystyle {\frac{AB}{AP}}$ = $\displaystyle {\frac{LM}{PM}}$ , $\displaystyle {\frac{AB}{AP}}$ = $\displaystyle {\frac{KN}{PN}}$ ,

получим, что ${\frac{AB^{2}}{AP^{2}}}$ = ${\frac{LM\cdot KN}{PM\cdot PN}}$ , а т.к. по теореме о касательной и секущей AP² = PM^.PN, то AB² = LM^.KN = kl.

Следовательно,

S_AMN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.MN^.AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.a $\displaystyle \sqrt{kl}$ .

Ответ

${\frac{a}{2}}$ $\sqrt{kl}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3825