Информация о задаче

Задача 102419

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции с основаниями 3 и 4 найдите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего плошадь трапеции в отношении 5:2, считая от меньшего основания.

Подсказка

Продолжите боковые стороны трапеции до пересечения и рассмотрите образовавшиеся при этом подобные треугольники.

Решение

Пусть боковые стороны AB и CD трапеции ABCD с основаниями AD = 4 и BC = 3 пересекаются в точке K, а точки M и N лежат на боковых сторонах AB и CD соответственно, причём ${\frac{S_{ABMD}}{S_{MBCN}}}$ = ${\frac{2}{5}}$ . Обозначим S_AMND = 2s, S_MBCN = 5s, S_BKC = x.

Из подобия треугольников BKC и AKD следует, что

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta BKC}}{S_{\Delta AKD}}}$ = $\displaystyle {\frac{BC^{2}}{AD^{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{16}}$ , или $\displaystyle {\frac{x}{x+7s}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{16}}$ .

Из этого уравнения находим, что x = 9s.

Из подобия треугольников BKC и MKN следует, что

MN = BC^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{S_{\Delta MKN}}}{\sqrt{S_{\Delta BKC}}}}$ = 3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{14s}}{\sqrt{9s}}}$ = $\displaystyle \sqrt{14}$ .

Ответ

$\sqrt{14}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3841