Информация о задаче

Задача 102422

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = BC, DB — биссектриса угла D, $\angle$ ABC = 100^o, $\angle$ BEA = 70^o. Найдите угол CAD.

Подсказка

Пусть F — точка, симметричная вершине A относительно прямой BD. Тогда точки C, F, B и E лежат на одной окружности.

Решение

Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому $\angle$ CAB = $\angle$ ACB = 40^o. Тогда

$\displaystyle \angle$ ABE = 180^o - 70^o - 40^o = 70^o, $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ CBA - $\displaystyle \angle$ ABE = 100^o - 70^o = 30^o.

Пусть F — точка, симметричная вершине A относительно прямой BD. Поскольку DB — биссектриса угла ADC, то точка F лежит на луче DC, $\angle$ BFE = $\angle$ BAE = 40^o = $\angle$ BCE. Таким образом, отрезок BE виден из точек C и F под одним углом, причём точки C и F лежат по одну сторону от прямой BE. Значит, точки C, F, B и E лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ CFE = $\displaystyle \angle$ CBE = 30^o.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ DFE = $\displaystyle \angle$ CFE = 30^o.

Ответ

30^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3844