Информация о задаче

Задача 102437

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектриса AD угла A и биссектриса BL угла B пересекаются в точке F. Величина угла LFA равна 60^o.

1) Найдите величину угла ACB.

2) Вычислите площадь треугольника ABC, если $\angle$ CLD = 45^o и AB = 2.

Решение

Обозначим $\angle$ ACB = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ CAB + $\displaystyle \angle$ CBA = 180^o - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ LFA = $\displaystyle \angle$ FAB + $\displaystyle \angle$ FBA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ CAB + $\displaystyle \angle$ CBA) = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

Поскольку $\angle$ LFA = 60^o, то ${\frac{\alpha}{2}}$ = 90^o - 60^o = 30^o. Следовательно, $\angle$ ACB = $\alpha$ = 60^o.

Поскольку $\angle$ LFD = 180^o - $\angle$ AFL = 120^o, то около четырёхугольника FLCD можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы CFD и CLD опираются на одну дугу, значит, $\angle$ CFD = $\angle$ CLD = 45^o. Тогда $\angle$ AFC = 180^o - 45^o = 135^o.

Применив те же рассуждения, что и при вычислении угла ACB, получим, что $\angle$ ABC = 90^o. Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный, BC = AB^.ctg60^o = ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^. $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

Ответ

Если $\angle$ ACB = $\alpha$ , то $\angle$ LFA = 90^o - ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3860