Задача 102443

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На продолжении биссектрисы AL треугольника ABC за точку A взята такая точка D, что  AD = 10  и  ∠BDC = ∠BAL = 60°.
Найдите площадь треугольника ABC. Какова наименьшая площадь треугольника BDC при данных условиях?

Подсказка

Докажите подобие треугольников ABD и ADC. Для нахождения наименьшей площади воспользуйтесь неравенством Коши.

Решение

  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠ABD = 60° – ∠BDA = ∠ADC.

  Значит, треугольники ABD и ADC подобны по двум углам (их углы при общей вершине A равны по 120°), поэтому  AB : AD = AD : AC.  Отсюда
AB·AC = AD² = 100.
  Следовательно,  S_ABC = ½ AB·AC sin∠A = 25.
  S_ADC = S_ABD + S_ADC + S_ABC = ½ AD·AB sin 120° + ½ AD·AC sin 120° + 25 = 5AB· + 5AC· + 25 ≥ 5( + 5) = 75,  причём равенство достигается, если  AB = AC = 10.

Ответ

25,  75.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3866