Информация о задаче

Задача 102469

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В трапеции ABCD, описанной около окружности, BC $\Vert$ AD, AB = CD, $\angle$ BAD = 45^o. Площадь трапеции равна 10. Найдите AB.

В данной трапеции средняя линия равна боковой стороне.

Пусть r — радиус окружности, вписанной в данную трапецию, S — её площадь, AB = CD = a, BH — высота трапеции.

Поскольку в трапецию вписана окружность, то AD + BC = AB + CD = 2a, а высота трапеции равна 2r. Поэтому

S = $\displaystyle {\frac{AD+BC}{2}}$ ^.BH = a^.2r = 2ar.

Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

2r = BH = AB^.sin 45^o = $\displaystyle {\frac{a}{\sqrt{2}}}$ .

Поэтому

2ar = 2a^. $\displaystyle {\frac{a}{2\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}}$ = 10.

Следовательно, AB = a = $\sqrt{10\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{10\sqrt{2}}$ .


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3892