Задача 102477

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём  CE = DE.  Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника CKM, если  AB = 10,  AE = 1.

Подсказка

Высота треугольника CKM равна отрезку BE. Вычислите тангенс угла CAE и рассмотрите подобные треугольники AME и AKB.

Решение

  По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд  CE² = 9.  Кроме того,  CE ⊥ AB.
  Пусть O – центр окружности. Обозначим  ∠AOC = 2α.  Из равнобедреного треугольника AOC находим, что  ∠CAO = 90° – α.
  Поскольку  ∠BOC = 180° – 2α,  а KO – биссектриса угла BOC, то  ∠BOK = 90° – α,  а  ∠OKB = α.
  Из прямоугольного треугольника AEC находим, что  ctg α = tg∠CAO = ^CE/_AE = 3.  Поэтому  KB = OB ctg ∠OKB = 5ctg α = 15.
  Из подобия прямоугольных треугольников AME и AKB следует, что  ME = KB·^AE/_AB = ³/₂.
  Значит,  CM = CE – ME = ³/₂.  Следовательно,  S_CKM = ½ CM·BE = ²⁷/₄.

Ответ

²⁷/₄.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3900