Информация о задаче

Задача 102479

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Среди треугольников KLM, у которых радиус описанной окружности равен 10 см, сторона KL равна 16 см, высота MH равна ${\frac{39}{10}}$ см, найдите угол KML того треугольника, медиана MN которого наименьшая.

Подсказка

Пусть MK = a, ML = b, KL = c, MN = m, $\angle$ KML = $\alpha$ . Тогда

m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2a² + 2b² - c²).

Найдите sin $\alpha$ , рассмотрите случаи тупого и острого угла KML и с помощью теоремы косинусов выразите a² + b² через известные величины.

Решение

Обозначим MK = a, ML = b, KL = c, MN = m, $\angle$ KML = $\alpha$ .

Если R = 10 — радиус окружности, описанной около треугольника KLM, то

sin $\displaystyle \alpha$ = sin $\displaystyle \angle$ KML = $\displaystyle {\frac{KL}{2R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{20}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Записав двумя способами площадь треугольника KLM, получим уравнение

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ KL^.MH, или ab^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ = 16^. $\displaystyle {\textstyle\frac{39}{10}}$ ,

откуда находим, что ab = 78.

По теореме косинусов

a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \alpha$ = 256.

Поэтому

a² + b² = 256 + 2ab cos $\displaystyle \alpha$ = 256 + 2^.78^.cos $\displaystyle \alpha$ .

Из формулы для медианы треугольника следует, что

MN² = m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2a² + 2b² - c²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a^{2}+b^{2}-\frac{c^{2}}{2}}\right.$ a² + b² - $\displaystyle {\frac{c^{2}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a^{2}+b^{2}-\frac{c^{2}}{2}}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a² + b² - 128) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (256 + 2^.78^.cos $\displaystyle \alpha$ - 128) = 64 + 78^.cos $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому медиана MN — наименьшая, если cos $\alpha$ — наименьший.

Поскольку sin $\alpha$ = ${\frac{4}{5}}$ , то cos $\alpha$ — наименьший, если угол KML -- тупой, т.е. когда cos $\alpha$ = - ${\frac{3}{5}}$ .

Осталось проверить, что полученный треугольник удовлетворяет всем условия задачи. Для этого достаточно показать, что его высота MH меньше расстояния от середины N стороны KL до середины P дуги KL, содержащей точку M.

Действительно,

tg $\displaystyle \angle$ NPL = tg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ KPL = tg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ KML = tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{1+\cos{\alpha}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{3}{5}}}$ = 2.

Следовательно,

PN = $\displaystyle {\frac{NL}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{2}}$ = 4 > $\displaystyle {\textstyle\frac{39}{10}}$ = MH.

Что и требовалось доказать.

Ответ

$\angle$ KML = arccos(- ${\frac{3}{5}}$ ) = $\pi$ - arcsin ${\frac{4}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3902