Задача 102481

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что  PS = 13,  QM = 10,  QR = 26.  Найдите площадь четырёхугольника PQRS.

Подсказка

Треугольники PMS и QMR подобны.

Решение

  Углы PSQ и PRQ равны как опирающиеся на одну дугу. Поэтому треугольники PMS и QMR подобны по двум углам. Значит,  PM = QM·^PS/_QR = 5.
  Из прямоугольных треугольников PMS и QMR находим, что  SM² = SM² = PS² – PM² = 144,  MR² = QR² – QM² = 26² – 10² = 24².
  Поэтому  QS = SM + MQ = 12 + 10 = 22  и  PR = PM + MR = 29.
  Следовательно,  S_PQRS = ½ QS·PR = 319.

Ответ

319.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3904