Информация о задаче

Задача 102483

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC (AD > BC) равна 48, а площадь треугольника AOB, где O — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 9. Найдите отношение оснований трапеции AD : BC.

Подсказка

S_AOD = ${\frac{DO}{OB}}$ ^.S_AOB.

Решение

Заметим, что треугольники ABD и ACD равновелики, т.к. у них общее основание и равные высоты. Значит, равновелики треугольники COD и AOB.

Пусть ${\frac{AD}{BC}}$ = x > 1. Из подобия треугольников AOD и COB следует, что ${\frac{AO}{OC}}$ = ${\frac{DO}{OB}}$ = ${\frac{AD}{BC}}$ = x. Тогда

S_AOD = $\displaystyle {\frac{DO}{OB}}$ ^.S_AOB = 9x, S_BOC = $\displaystyle {\frac{CO}{OA}}$ ^.S_AOB = $\displaystyle {\frac{9}{x}}$ ,

а т.к.

S_AOD + S_BOC = S_ABCD - S_AOB - S_COD = 48 - 2^.9 = 30,

получаем уравнение 9x + ${\frac{9}{x}}$ = 30, больший корень которого (x = 3) удовлетворяет условию x > 1.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3906