Задача 102490

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике KLM проведена биссектриса KP . Окружность, вписанная в треугольник KLP , касается стороны KL в точке Q , причём LQ = a . На сторонах KL и LM выбраны точки E и R соответственно так, что прямая ER проходит через центр окружности, вписанной в треугольник KLM . Найдите длину биссектрисы KP , если известно, что EL + LR = b , а отношение площадей треугольников KLP и ELR равно α .

Решение

Пусть O — центр окружности радиуса r , вписанной в треугольник KLM , A и B — её точки касания со сторонами LM и KL соответственно. Тогда

S_{Δ KLP}=LP· OA + KL· OB = (LP+KL)r,

S_{Δ ELR}=LR· OA + LE· OB = (LR+LE)r= br,
а т.к.
= =α,
то LP+KL=α b .
Пусть p — полупериметр треугольника KLP . Окружность, вписанная в треугольник KLP касается стороны KP в точке Q , поэтому
a=LQ= p-KP = =,
откуда находим, что KP = α b-2a



Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник KLM . Тогда LO — биссектриса треугольников KLP и ELR . Обозначим KLM=γ . По формуле для биссектрисы треугольника
LO= и LO=.
Поэтому
= = LK+LP= b· ,
а т.к.
= = =α,
то LK+LP=α b .
Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что KP=LK+LP-2· LQ=α b - 2a .

Ответ

α b - 2a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3913