Задача 102506

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательная окружность ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Площадь треугольника ABC равна 10 см². Какое наименьшее значение может принимать радиус описанной окружности треугольника ABC, если известно, что середины высот этого треугольника лежат на одной прямой?

Решение

  Согласно решению задачи 102505, треугольник ABC – прямоугольный. Пусть его катеты равны a и b, гипотенуза – c, а радиус описанной окружности – R. Далее можно рассуждать по-разному.
  Первый способ.  4R² = c² = a² + b² ≥ 2ab = 40.  Следовательно,  R² ≥ 10.
  Второй способ. Из решения задачи 102505 видно, что  10 = S_ABC ≤ R².
  Равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3929