Информация о задаче

Задача 102509

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 60^o, а биссектриса угла C равна 5 $\sqrt{3}$ . Длины сторон AC и BC относятся как 5:2 соответственно. Найдите тангенс угла A и сторону BC.

Подсказка

Пусть CD — биссектриса данного треугольника. Обозначим BC = 2t, AC = 5t. Найдите t из уравнения

S_ABC = S_BCD + S_ACD

Решение

Пусть CD = 5 $\sqrt{3}$ — биссектриса данного треугольника. Обозначим BC = 2t, AC = 5t. Тогда

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.BC^.AC sin 60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ t² $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

S_ABC = S_BCD + S_ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.BC^.CD sin 30^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.CD sin 30^o =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2t^.5 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.5t^.5 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.7t^.5 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{4}}$ t $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Из уравнения ${\frac{5}{2}}$ t² $\sqrt{3}$ = ${\frac{35}{4}}$ t $\sqrt{3}$ находим, что t = ${\frac{7}{2}}$ . Тогда BC = 2t = 7, AC = 5t = ${\frac{35}{2}}$ .

Пусть E — проекция точки D на прямую AC. Поскольку BC < AC, то $\angle$ DAC = $\angle$ BAC < 90^o, поэтому точка E лежит на стороне AC, а не на её продолжении. Тогда из прямоугольных треугольников CED и AED находим, что

DE = CD sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CD = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{2}}$ , CE = CD cos 30^o = 5 $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ ,

AE = AC - CE = $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{2}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ = 10, tg $\displaystyle \angle$ DAE = $\displaystyle {\frac{DE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{10}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{3}}{4}}$ ; 7.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3932