Информация о задаче

Задача 102513

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике FGH угол G прямой, FG = 8, GH = 2. Точка D лежит на стороне FH, A и B — точки пересечения медиан треугольников FGD и DGH. Найдите площадь треугольника GAB.

Подсказка

Пусть GC и GE — медианы треугольников GDF и GDH соответственно. Тогда треугольник GAB подобен треугольнику GCE с коэффициентом ${\frac{2}{3}}$ .

Решение

Пусть GC и GE — медианы треугольников GDF и GDH соответственно. Поскольку медианы треугольника делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, то ${\frac{GA}{GC}}$ = ${\frac{GB}{GE}}$ = ${\frac{2}{3}}$ . Поэтому треугольник GAB подобен треугольнику GCE с коэффициентом k = ${\frac{2}{3}}$ . Следовательно,

S_GAB = k^{2 .}S_GCE = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ (S_CGD + S_EGD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta FGD}+\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta DGH}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.S_FGD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.S_DGH $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta FGD}+\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta DGH}}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (S_FGD + S_DGH) = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ ^.S_FGH = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.GH^.GF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ^.2^.8 = $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{9}}$ .

Ответ

${\frac{16}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3936