Информация о задаче

Задача 102517

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В некоторый угол B вписаны две непересекающиеся окружности. Окружность большего радиуса касается сторон этого угла в точках A и C, меньшего — в точках A₁ и C₁(точки A, A₁ и C, C₁ лежат на разных сторонах угла B). Прямая AC₁ пересекает окружности большего и меньшего радиусов в точках E и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников ABC₁ и A₁BC₁, если A₁B = 2, EF = 1, а длина AE равна среднему арифметическому длин BC₁ и EF.

Подсказка

С помощью теоремы о касательной и секущей докажите, что AE = FC₁.

Решение

Пскольку BC₁ = A₁B = 2, то

AE = $\displaystyle {\frac{BC_{1}+EF}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{2+1}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Из теоремы о ревенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что CC₁ = AA₁.

Из точки A проведены к меньшей окружности касательная AA₁ и секущая AFC₁. По теореме о касательной и секущей AF^.AC₁ = AA₁².

Из точки C₁ проведены к большей окружности касательная C₁C и секущая C₁EA. Поэтому C₁E^.AC₁ = C₁C².

Поскольку CC₁ = AA₁, то AF^.AC₁ = C₁E^.AC₁. Поэтому AF = C₁E. Значит,

C₁F = AE = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ , AA₁ = $\displaystyle \sqrt{AC_{1}\cdot AF}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{3}{2}+1+\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}+1\right)}$ = $\displaystyle \sqrt{10}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC_{1}}}{S_{\Delta A_{1}BC_{1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{A_{1}B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{10}+2}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{10}}{2}}$ + 1 = $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{2}}$ + 1.

Ответ

1 + $\sqrt{\frac{5}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3941