Информация о задаче

Задача 102700

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

AC и BD — диагонали вписанного четырёхугольника ABCD. Углы DAC и ABD равны соответственно $\gamma$ и $\delta$ , сторона CD = a. Найдите площадь треугольника ACD

Подсказка

Примените теорему синусов к треугольнику ACD.

Решение

Поскольку вписанные углы ACD и ABD опираются на одну и ту же дугу, то

$\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \delta$ .

Применяя теорему синусов к треугольнику ACD, получим:

$\displaystyle {\frac{AC}{\sin (180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD)}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{\sin \angle CAD}}$ , или $\displaystyle {\frac{AC}{\sin (180^{\circ} - \gamma - \delta)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin \gamma}}$ .

Отсюда находим, что

AC = a^. $\displaystyle {\frac{\sin (180^{\circ} - \gamma - \delta)}{\sin \gamma}}$ = a^. $\displaystyle {\frac{\sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$ .

Следовательно,

S_ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CD^.AC^.sin $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.a^.a^. $\displaystyle {\frac{\sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$ ^.sin $\displaystyle \delta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a^{2 .} $\displaystyle {\frac{\sin \delta\cdot \sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ a^{2 .} ${\frac{\sin \delta\cdot \sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4144