Информация о задаче

Задача 102707

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите что точки A(- 1; - 2), B(2; - 1) и C(8;1) лежат на одной прямой.

Подсказка

Докажите, что AB + BC = BC (или установите коллинеарность векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ ).

Решение

Первый способ.

По формуле для расстояния между двумя точками

AB = $\displaystyle \sqrt{(2-(-1))^{2}+(-1-(-2))^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9+1}$ = $\displaystyle \sqrt{10}$ ,

AC = $\displaystyle \sqrt{(8-(-1))^{2}+(1-(-2))^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{81+9}$ = $\displaystyle \sqrt{90}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{10}$ ,

BC = $\displaystyle \sqrt{(8-2)^{2}+(1-(-1))^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{36+4}$ = $\displaystyle \sqrt{40}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{10}$ .

Поскольку,

AB + BC = $\displaystyle \sqrt{10}$ + 2 $\displaystyle \sqrt{10}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{10}$ = BC,

то точки A, B и C лежат на одной прямой.

Второй способ.

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2-(-1);-1-(-2)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;1)}$ , $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(8-(-1);1-(-2)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(9;3)}$ ,

то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны ( $\overrightarrow{AC}$ = 3 $\overrightarrow{AB}$ ). Следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4213