Задача 102732

Темы:    [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).

Подсказка

Примените теорему Чевы.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим BC = a, AC = b, AB = a. Пусть A', B', C' — точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC, AC, AB соответственно, K — точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB, p — полупериметр треугольника.

Тогда

BA' = BK = AK - AB = p - c.

Аналогично

A'C = p - b, CB' = p - a, B'A = p - c, AC' = p - b, C'B = p - a.

Поэтому

^{. .} = ^{. .} = 1.

Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.