Информация о задаче

Задача 102737

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
Темы:	[	Окружность Ферма-Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

Пусть нужный треугольник ABC построен, CD = l_c — данная биссектриса, BD = a' и AD = b' — данные отрезки, на которые она делит сторону AB. Обозначим BC = a, AC = b.

Первый способ.

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис.1)

l_c² = AD² = BC^.AC - BD^.AD = ab - a'b'.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ .

Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a' и b' строим отрезок x = $\sqrt{a'b'}$ — среднее геометрическое отрезков a' и b'. Зная отрезок x и данный отрезок l_c, строим отрезки

y = $\displaystyle \sqrt{ab}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ a'b'}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ x^{2}}$ и , z = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ ^.y.

Поскольку

a² = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ ^.ab = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ ^.y²,

то можно построить отрезок

a = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y\cdot y}$ = $\displaystyle \sqrt{z\cdot y}$ .

По известным отрезкам a, a' и l_c строим треугольник BCD. Далее очевидно.

Второй способ.

Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A и B постоянно и отлтчно от 1, есть окружность (окружность Аполлония).

Пусть a' > b'. Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны BA за точку A (рис.2). Обозначим точку пересечения через E. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника

$\displaystyle {\frac{BE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{AE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$ .

Значит, можно построить отрезок

AE = AB^. $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$ = $\displaystyle {\frac{(a'+b')\cdot b'}{a'-b'}}$ .

(Отрезок DE виден из искомой точки C под прямым углом.) Далее на отрезке AB строим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точек A и B и отношения ${\frac{a'}{b'}}$ . Тогда искомая вершина C — это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центром D и радиусом l_c.