Для всех действительных x и y выполняется равенство  f(x² + y) = f(x) + f(y²).  Найдите  f(–1).

   Решение

Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Докажите, что:
а) площадь треугольника AOB не зависит от выбора сопряженных диаметров;
б) величина OA²+OB² не зависит от выбора сопряженных диаметров.

   Решение

Темы:    [ Правило произведения ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Шахматная раскраска ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу.
Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.

Решение

Пусть на белых клетках максимально можно расположить k слонов и сделать это n способами. Это никак не мешает расположению слонов на чёрных клетках. Поскольку множество чёрных клеток получается из множества белых поворотом на 90°, там можно расположить столько же слонов и тем же числом способов. Следовательно, всего "максимальных" расстановок n².

Источники и прецеденты использования