Задача 103769

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3- Классы: 7

Условие

Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
  а)  x² – y² = 1993;
  б)  x³ – y³ = 1993;
  в)  x⁴ – y⁴ = 1993?

Подсказка

Разложите левую часть на множители.

Решение

а)  (x – y)(x + y) = 1993.  Учитывая, что число 1993 простое, получаем  x – y = 1,  x + y = 1993.  Отсюда  x = 997,  y = 996.

б)  (x – y)(x² + xy + y²) = 1993,  откуда  x – y = 1,  x² + xy + y² = (x – y)² + 3xy = 1993.  Следовательно,  xy = 664 = 2³·83.  Решений нет.

в)  (x² – y²)(x² + y²) = 1993,  откуда  x² – y² = 1,  x² + y² = 1993.  Из а) следует, что  x² = 997,  y² = 996.  Решений нет.

Ответ

а) Существуют;  б)-в) не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1993
класс
	1
Класс	7
задача
Номер	2