Задача 103847
|
|
 |
Условие
Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.
Подсказка
Если два квадрата стоят в одной строке, то они одинаковы.
Решение
Если два квадрата из девяти находятся в одной горизонтальной строке, то они имеют одинаковую высоту, а будучи квадратами — и одинаковую ширину, так что в этом случае всё доказано. Точно так же можно рассуждать, если два квадрата окажутся в одном вертикальном столбце. Осталось рассмотреть третий случай, когда все квадраты находятся в разных строках и в разных столбцах. Тогда они попадают в девять столбцов из десяти и в девять строк из десяти, и остаётся одна свободная строка и один свободный столбец. Докажем, что прямоугольник, стоящий на пересечении ''свободной'' строки и ''свободного'' столбца будет ещё одним, десятым квадратом. В самом деле, ширину свободного столбца можно найти, вычтя суммарную ширину девяти квадратов из ширины большого квадрата. Точно так же высота свободной строки равна разности высоты большого квадрата и суммы высот девяти квадратов, а высота любого квадрата равна его ширине. Но по условию десятого квадрата нет, так что третий случай невозможен.
