|
|
 |
Условие
В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый
сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение – 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в
случае выигрыша всех партий. Могли ли получить звание мастера спорта
а) 7 участников;
б) 8 участников?
Подсказка
Подсчитайте, сколько очков набрали в сумме игроки, получившие звание мастера спорта.
Решение
а) Пусть 7 участников выиграли все партии у пяти оставшихся, а все партии между собой завершили вничью. Тогда каждый из них набрал по
5 + 0,5·6 = 8 очков, что больше чем 0,7·11 = 7,7 требуемых очков.
б) Пусть получивших звание мастера было не менеее 8. Отметим 8 из них. Каждый отмеченный набрал не менее 7,7, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не 64 очков. С другой стороны, в партиях с неотмеченными четырьмя участниками, каждый из отмеченных набрал не более 4 очков. Это даёт не более 32 очков.
Значит, отмеченные участники набрали в партиях между собой не менее 32 очков. Но они сыграли между собой только 28 партий. Противоречие.
Ответ
а) Могли; б) не могли.
