Задача 103890

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7

Условие

Автор: Произволов В.В.

Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников (см. рисунок). Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?

Подсказка

Заштрихуйте прямоугольники, стоящие на диагонали (как в турнирной таблице).

Решение

Рассмотрим прямоугольники, заштрихованные на рисунке ('' диагональные''). Горизонтальная сторона исходного прямоугольника складывается из их горизонтальных сторон. То же — для вертикальной стороны.

Поэтому периметр исходного прямоугольника равен сумме периметров заштрихованных прямоугольников. Периметр каждого из этих прямоугольников — целое число метров. Их сумма — тоже целое число метров.

Ответ

Да, обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2003
класс
	1
Класс	7
задача
Номер	4