Задача 103891

Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Автор: Федоров Р.М.

В честь праздника 1% солдат в полку получил новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30% колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?

Решение

  Оценка. Пусть m – число колонн, а n – число шеренг. Тогда в полку mn солдат и  ¹/₁₀₀ mn  солдат получили новое обмундирование. Согласно условию, не менее чем в ⁴⁰/₁₀₀ n шеренг есть хотя бы по одному солдату в новом обмундировании, значит,  ^mn/₁₀₀ ≥ ⁴⁰ⁿ/₁₀₀.  Отсюда  m ≥ 40.  Аналогично
^mn/₁₀₀ ≥ ^30m/₁₀₀,  откуда  n ≥ 30. Значит, в полку не менее, чем  40·30 = 1200 солдат.
  Пример. Построим 1200 солдат в виде прямоугольника 30×40 Поставим по диагонали 12 солдат в новом обмундировании (см. рисунок). Ясно, что солдаты в новом обмундировании стоят ровно в 30% колонн и в 40% шеренг.

Ответ

1200 солдат.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2003
класс
	1
Класс	7
задача
Номер	5