Задача 103914

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

Решение

  Остроугольный треугольник можно разрезать на три равнобедренных с равными боковыми сторонами радиусами описанной окружности. Если треугольник ABC – тупоугольный (C – тупой угол), то возьмём на стороне AB такие точки A', B', что  AB' = B'C = CA' = A'B,  и разрежем треугольник на треугольники AB'C, A'B'C и A'BC (см. рис.).

  Докажем, что прямоугольный треугольник ABC  (AC = BC)  разрезать требуемым образом нельзя.
  Очевидно, что существует два существенно различных способа разрезания треугольника на три: соединить внутреннюю точку X с вершинами (рис. слева) или разрезать треугольник на два прямой, проходящей через вершину, а затем повторить эту операцию с одной из двух частей (рис. справа).

  В первом случае треугольник AXB может быть равнобедренным только при  AX = BX,  но тогда два других треугольника равнобедренными не будут. Во втором случае хотя бы один из получающихся при первом разрезе треугольников должен быть равнобедренным. Следовательно, первая прямая либо является биссектрисой прямого угла, либо соединяет точку C с точкой D на гипотенузе, для которой  AD = AC.  Ни в том, ни в другом случае провести вторую прямую так, чтобы получить нужное разрезание невозможно.

Ответ

Только прямоугольный равнобедренный треугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	9
Задача
Номер	2