|
|
 |
Условие
Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.
Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.
Решение
Пусть треугольник ABC с наибольшим углом C разрезан на три подобных отрезками AX, BX, CX. Так как ∠AXB > ∠ACB, углу AXB в других треугольниках могут равняться только углы AXC и BXC. Значит, ∠AXB = ∠AXC = ∠BXC = 120°. Но тогда AX = BX = CX и треугольник ABC – правильный.
Пусть теперь треугольник разрезали сначала прямой, проходящей через вершину, на два, а затем один из этих двух еще на два. Так как два последних
треугольника подобны, они прямоугольные, то есть при первом разрезе от исходного
треугольника отрезали прямоугольный, а затем оставшийся треугольник разделили
на два высотой. Перебрав все варианты, нетрудно убедиться, что исходный треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. И в том, и в другом случае его можно разрезать на любое число подобных.
