Задача 103932

Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

Решение

Пусть  R = OA  – радиус первой окружности, X, Y – середины AB и CD, Q – середина OP. Тогда
XQ² = ¼ (2OX² + 2XP² – OP²) = ¼ (2OX² + 2XA² – OP²) = ¼ (2R² – OP²) = YQ².  Таким образом, Q равноудалена от точек X и Y, а, значит, и от прямых AB и CD (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	10
Задача
Номер	3