Задача 103935

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, X – произвольная точка. Окружность с диаметром XH вторично пересекает прямые AH, BH, CH в точках A₁, B₁, C₁, а прямые AX, BX, CX в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Решение

Рассмотрим для определенности случай, когда точки расположены на окружности в порядке A₁B₂C₁A₂B₁C₂. Пусть  XH = d.  Тогда
A₁B₂ = d sin∠A₁HB₂ = d sin∠XBC,  так как  HA₁ ⊥ BC,  а  HB₂ ⊥ BX  (см. рис.). Следовательно,     = 1,   что согласно задаче 35216 равносильно доказываемому утверждению (см. рис.).

Замечания

Нетрудно видеть, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику ABC, а точка пересечения прямых соответствует точке, изогонально сопряженной X.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	10
Задача
Номер	6