Задача 103936

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Точки A₁, B₁, C₁ – середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A₁, B₁, C₁, пересекают, соответственно, прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Пусть Z – точка пересечения AA₂ и BB₂. Так как точки B и B₁ симметричны относительно прямой A₁C₁,  ∠ABZ = ∠C₁BB₂ = ∠B₂B₁C₁.  Аналогично
∠BAZ = ∠A₂A₁C₁.  Так как прямые AA₂ и BB₂ параллельны,  ∠A₂A₁C₂ = ∠B₁B₂C, следовательно,  ∠AZB = ∠B₁C₁B₂ = ∠C,  то есть точка Z лежит на описанной окружности Ω треугольника ABC.
  Аналогично доказывается, что AA₂ и CC₂ пересекаются в точке, лежащей на Ω, то есть в той же точке Z.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	11
Задача
Номер	1