Задача 103992

Темы:    [ Признаки делимости (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9 Название задачи: Делимость на 120.

Условие

Доказать, что число  n⁵ – 5n³ + 4n  делится на 120 при любом натуральном n.

Решение

n⁵ – 5n³ + 4n = n(n² – 1)(n² – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2).  Из пяти последовательных чисел одно делится на 5, по крайней мере одно – на 3, и два числа являются соседними чётными числами, одно из которых делится на 2, а другое на 4. Окончательно данное выражение делится на  2·4·3·5 = 120.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	8
Кружок
Год	2005/2006
занятие
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Признаки делимости (прочее)
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	1