Задача 104061

Темы:    [ Наглядная геометрия ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Условие

Дед звал внука к себе в деревню:
  – Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растёт четыре груши, а ещё есть яблони, причём они посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растёт ровно две груши.
  – Ну и что тут интересного, – ответил внук. – У тебя всего две яблони.
 – А вот и не угадал, – улыбнулся дед. – Яблонь у меня в саду больше, чем груш.
Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда. Постарайтесь разместить на рисунке как можно больше яблонь, не нарушая условий.

Решение

  Возможны различные расстановки яблонь и груш, например, такая, как показана на рис. слева. Наибольшее число яблонь можно поместить, если груши растут достаточно густо. Например, если посадить груши в ряд через 5 м, то найдётся место для 12 яблонь (рис. в центре).

           

  Докажем, что больше двенадцати яблонь быть не может. Рассмотрим две какие-то груши. На расстоянии 10 м от них может быть только две яблони – одна по одну сторону от линии груш, другая – по противоположную (рис. справа). Поэтому каждая пара груш "обслуживает" не более чем две яблони. Так как пар груш шесть, то максимальное число яблонь равно 12.

Замечания

Ср. с задачей 104067.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Дата	2006
класс
Класс	6
задача
Номер	5