Условие
Наташа сделала из листа клетчатой бумаги календарь на январь 2006 года (см. рисунок) и заметила, что центры клеток 10, 20 и 30 января образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Наташа предположила, что это будет верно и в любом другом году, за исключением тех лет, когда центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной прямой. Права ли Наташа?
Решение
Всего существует 7 различных вариантов расположения дат в январском календаре. При этом существует всего 2 существенно различных варианта расположения треугольника 10-20-30 (см. первые два рисунка), все остальные получаются из первых двух горизонтальными сдвигами треугольника. Проверим Наташино предположение для первого случая, а для второго случая рассуждения будут аналогичными. Очевидно, что у треугольника 30-9-10 угол 9 прямой (см. четвёртый рисунок), и, аналогично, является прямым угол 13 у треугольника 10-13-20. Ясно, что стороны 9-30 и 10-13 равны; аналогично, равны стороны 9-10 и 13-20. Поэтому треугольники 9-30-10 и 13-10-20 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезки 10-30 и 10-20 равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, получаем, что сумма острых углов в треугольнике 9-10-30 равна 180°-90°=90°. Осталось заметить, что сумма углов, дополняющих угол 10 до развёрнутого угла, равна сумме острых углов треугольника 9-10-30. Значит, угол 10 тоже равен 90°. Итак, треугольник 10-20-30 является равнобедренным прямоугольным.
Ответ
Наташа права.
Источники и прецеденты использования