Задача 105047

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Сравнив дроби  ¹¹¹¹¹⁰/₁₁₁₁₁₁,  ²²²²²¹/₂₂₂₂₂₃,  ³³³³³¹/₃₃₃₃₃₄,  расположите их в порядке возрастания.

Решение

Рассмотрим числа  1 – x = ¹/₁₁₁₁₁₁,  1 – y = ²/₂₂₂₂₂₃,  1 – z = ³/₃₃₃₃₃₄,  а также обратные к ним  ¹/_1–x = 111111,  ¹/_1–y = 111111 + ½,  ¹/_1–z = 111111 + ⅓.  Мы видим, что  ¹/_1–x < ¹/_1–z < ¹/_1–y.  Поскольку все рассматриваемые числа положительны,  1 – x > 1 – z > 1 – y.  Следовательно,  x < z < y.

Ответ

¹¹¹¹¹⁰/₁₁₁₁₁₁ < ³³³³³¹/₃₃₃₃₃₄ < ²²²²²¹/₂₂₂₂₂₃.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	8
задача
Номер	1