|
|
 |
Условие
В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.
Решение
Разобьём данные 23 числа на восемь групп из стоящих подряд чисел:
три группы по пять чисел и четыре группы по два числа. Каждую группу заключим в скобки, а между группами расставим знаки умножения. Если расставить знаки внутри каждой группы так, чтобы результат операций в группе из двух чисел делился на 2, а в группе из пяти чисел – на 5, то всё выражение будет делиться на 24·5³ = 2000.
Покажем, что такая расстановка знаков в группах существует. Если числа в группе из двух чисел разной чётности, то между ними нужно поставить знак
умножения, если одинаковой чётности – сложения. Результат, очевидно, будет чётен.
Рассмотрим группу из чисел a1, a2, a3, a4, a5, идущих именно в таком порядке. Согласно решению задачи 103964 среди них найдётся насколько идущих подряд, сумма которых делится на 5. Расставим знаки сложения между числами, входящими в эту сумму ai + ... + aj, саму сумму (если требуется) заключим в скобки, а все оставшиеся промежутки между числами группы заполним знаками умножения.
