Задача 105095

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Правильный тетраэдр ] [ Упаковки ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, так чтобы ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?

Решение

Будем помещать между плоскостями правильные тетраэдры, расстояние между противоположными рёбрами которых равно расстоянию между плоскостями. Пусть одно из рёбер каждого тетраэдра лежит в одной из граничных плоскостей, а противоположное ему - в другой. Два тетраэдра можно расположить так, чтобы конец "верхнего" ребра первого совпадал с серединой "верхнего" ребра второго, а середина "нижнего" ребра первого - с концом "нижнего" ребра второго, и при этом как "верхние", так и "нижние" рёбра обоих тетраэдров были перпендикулярны. Распространив этот процесс на весь слой, получим, что каждый тетраэдр окружён четырьмя другими (рис. 11.2); два из них не позволяют выдвинуть его "вверх", два остальных - "вниз".


Рис. 11.2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	11
задача
Номер	6