Задача 105147

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Казицына Т.В.

В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты такие точки X и Y, что  ∠ABX = ∠YAC,  ∠AYB = ∠BXC,  XC = YB.  Найдите углы треугольника ABC.

Решение

  Для внешних углов BXC и AYB треугольников ABX и CAY запишем равенства  ∠BXC = ∠ABX + ∠BAX,  ∠AYB = ∠CAY + ∠YCA  (см. рис.). Так как по условию  ∠BXC = ∠AYB,  ∠ABX = ∠CAY,  то  ∠BAX = ∠YCA,  то есть треугольник ABC является равнобедренным,  AB = BC. 

  У треугольников XBC и YAB равны две стороны и угол не между ними:  ∠BXC = ∠AYB,  XC = YB,  BC = AB.  Такие треугольники либо равны, либо
∠XBC + ∠YAB = 180°  (мы докажем это ниже), но второй случай невозможен, поскольку  ∠XBC + ∠YAB < ∠ABC + ∠CAB = 180° – ∠ACB < 180°.  Значит, треугольники XBC и YAB равны, а следовательно,  ∠ABC = ∠BCA,  и треугольник ABC равносторонний.

  Теперь докажем сформулированный выше факт. Отметим на луче XB точку B' на расстоянии  XB' = YA.  Точка B' может оказаться как внутри, так и вне отрезка XB (см. рис.).

  Треугольники XB'C и YAB равны по двум сторонам и углу между ними  (XC = YB,  XB' = YA,  ∠CXB' = ∠BYA).  Значит,  CB' = CB.  Если B и B' совпадают, треугольники XBC и YAB равны. Если же B' не совпадает с B, то в равнобедренном треугольнике B'CB углы B'BC и BB'C равны, а значит,
∠XBC + ∠XB'C = 180°,  и  ∠XBC + ∠YAB = 180°.

Ответ

Все углы по 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	8
задача
Номер	4