Задача 105150

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Касающиеся окружности ] [ Три окружности одного радиуса ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Федоров Р.М.

Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке - одного радиуса, треугольник - равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет бо'льшую площадь?

Решение

Ответ: площади фигур равны.

Первое решение. Пусть площадь окружности равна S_окр, а площадь равностороннего треугольника со стороной, равной диаметру окружности, равна S_тр. Так как треугольник O₁O₂O₃ равносторонний, его углы равны 60^o, кроме того длина его стороны равна диаметрам исходных окружностей, поэтому его площадь равна S_тр.. Значит, площадь каждого из заштрихованных секторов на рис. 20 равна S_окр/6, а площадь закрашенной части равна

Рис. 20	Рис. 21

S_тр-3(S_окр/6)=S_тр-(S_окр/2)

Поэтому площадь второго головастика равна S_окр+S_тр-(S_окр/2)=S_окр+(S_окр/2). Очевидно, это совпадает с площадью второго головастика.

Идея второго решения. Наложим одного головастика на другого как показано на рис. 21. Нетрудно проверить, что если отрезать от первого головастика заштрихованные сегменты, и повернуть их вокруг точек A₁ и B₁ на 180^o, то получится в точности второй головастик.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	9
задача
Номер	1