Задача 105157

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Четность и нечетность ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.

Решение

  Выберем любую из получившихся частей. Рассмотрим сумму   a₁ + a₂ + ... + a_n,  где a_i – количество сторон i-й грани.
  Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит, посчитано в этой сумме дважды, и поэтому чётность суммы не зависит от числа таких рёбер. Каждое ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких рёбер 2003, поэтому вся сумма нечётна. Значит, количество нечётных слагаемых нечётно, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	10
задача
Номер	2